Rappels
L’énergie totale Etv=Ec+(nn+1)2m0c2=nm0v2+nm0v2n+2+m0v2n+2 (16)
L’énergie cinétique Ec=nm0c2=nm0v2+m0v2n+2 (12 bis)
Pour passer de l’énergie totale Etv à l’énergie cinétique Ec il suffit de soustraire l’énergie de la masse md aux deux termes de l’égalité (16): (nn+1)2m0c2 à gauche du signe égal et m0v2n+2 à droite du signe égal (nn0v2n+2=n2(n+1)2m0c2(15)) le même procédé est utilisé en mécanique relativiste, nous avons en effet:
Ec+m0c2=m0c2√1−β2 (3)
Pour une vitesse égale à c l’énergie de md est égale à m0c2 en retranchant cette énergie aux deux termes de l’égalité (3) nous obtenons la relation bien connue:
Ec=m0c2√1−β2−m0c2
Dans les équations représentant les énergies Etv et Ec nous avons:
mv=2m0n+2 (11) et md=nm0n+2 (13)
Dans ce chapitre concernant les applications nous utiliserons également les équations permettant d’accéder aux calculs suivants:
le rapportβ2=(n+1)2−1(n+1)2 (9) ou encore β2=v2c2=n2+2n(n+1)2
la quantité de mouvement P=(n+1)m0v(19)
le niveau de l’énergie de la masse m0 est représenté par le paramètre n tiré de l’équation Ec=nm0c2 (7)
Cas de la mécanique classique
Cette mécanique concerne les vitesses lentes par rapport à la vitesse limite C elle intéresse en particulier l’astronomie.
Prenons comme exemple une vitesse égale à 30km S−1
Nous avons V=3∗104mS−1 et en prenant C=3∗108mS−1 nous aurons v2c2=10−8
Pour une masse égale à m0 l’énergie cinétique est égale à m0∗(3∗104)2/2 joules
m0c2=m0∗9∗1016 joules
n=4.5∗108/9∗1016=0.5∗10−8
La masse pesante mv=2m0/2+0.5∗10−8 mv=m0
La masse inerte md=0.5∗10−8m0/2+0.5∗10−8 md=0.25∗10−8m0
La masse inerte nm0=0.5∗10−8m0
Dans l’équation (16) les deux masses inertes md et nm0 sont négligeables par rapport à la masse pesante mv qui est très proche de m0.
Nous retrouvons par conséquent l’équation de la mécanique classique Ec=12m0v2 (1).
Le calcul de la quantité de mouvement nous est donné par la relation P=(n+1)m0v (19)
Cette quantité de mouvement sera égale à: (1+0.5∗10−8)m0v=m0v
Cas de la mécanique relativiste
Cette application concerne plus particulièrement les astrophysiciens et les physiciens qui utilisent les accélérateurs de particules.
Connaissant la valeur de n pour une masse m0, nous avons la possibilité de calculer: la vitesse relativiste, les masses md et mv et leurs énergies respectives.
Exemple:
Dans le cas d’un électron soumis à une énergie de 100 MeV nous aurons:
n=100/0.511=195.7
(n+1)2=38690.89
β2=0.9999741
β=0.999987
v=0.999987.c
mv=2m0/2+195.7=0.01012m0 m0=9.11∗10−31kg mv=9.22∗10−33 kg
md=195.7m0/2+195.7=0.98988m0 md=9.02∗10−31 kg
l’énergie de mv=0.01012m0∗0.9999741c2/2=5.06∗10−3m0c2
l’énergie de md=0.98988m0∗0.9999741c2=0.98985m0c2
on notera que pour n=195.7 l’énergie de md est proche de sa valeur limite (m0c2) la quantité de mouvement P=(n+1)m0v (19)
Cas de la mécanique quantique
Calcul des vitesses proches de la vitesse limite C
La relation E=hν (4) concerne le rayonnement électromagnétique la vitesse est fixée à la valeur limite c et la masse pesante est nulle.
Dans l’équation Etv=nm0v2+nm0v2n+2+m0v2n+2 (16) la masse pesante mv ne peut pas être nulle, la vitesse de la particule étant toujours inférieure à la vitesse limite c.
Nous allons par conséquent appliquer l’équation (16) au cas particulier du rayonnement électromagnétique.
Dans cette relation si la vitesse ν tend vers c:
La masse mv et son énergie m0v2n+2 tendent vers zéro
La masse md≅m0 et son énergie ≅m0c2
L’énergie du photon peut donc être exprimée par la relation:
Et=nm0c2+m0c2
Cette équation peut être obtenue à partir de la relation de De Broglie appliquée au photon
λ=hmv
mv=(n+1)m0v
d’où λ=h(n+1)m0v
pour v=c nous aurons:
λ=h(n+1)m0c
or : λ=cν
donc cν=h(n+1)m0c d’où:
hv=(n+1)m0c2=nm0c2+m0c2
pour des valeurs élevées de n cette expression peut se réduire à:
hν=nm0c2
ν a la dimension de l’inverse d’un temps et h la dimension d’une action, n est un nombre sans dimension.
Si nous donnons à ν et à n les mêmes valeurs numériques n1 ces deux relations conduisent aux mêmes résultats nous aurons en effet:
pour hν:n1T−1∗ML2T−1=n1∗ML2T−2
pour nm0c2: n1∗ML2T−2
Pour la suite de cette étude nous allons opter pour la seconde solution. Ce choix va nous permettre d’avoir une approche assez précise de la vitesse du photon. Cette vitesse ne sera pas exprimée par une fraction de la constante c mais par l’écart relatif entre la constante c et la vitesse relativiste du photon.
Appelons δc cet écart
La vitesse est égale à c−δc=c(1−δ)
Or β=(1−δ)
β2(1−δ)2=1−2δ+δ2
La valeur de δ2 est négligeable par rapport à 1 et à 2δ (nous verrons par la suite que pour une fréquence égale à 1014 Hz δest de l'ordre de 10−28 et δ2 de l’ordre de 10−56 nous pouvons par conséquent écrire: β2=1−2δ (23)
Or: n+1=1√1−β2 (8 bis)
Ou: (n+1)2=11−β2
En remplaçant β2 par son égal 1−2δ (équation (23)) nous obtenons:
(n+1)2=12δ (24)
(n+1)2=n2+2n+1
Dans le cas du rayonnement visible n est de l’ordre de 1014 , 2n et 1 sont donc négligeables par rapport à n2 nous pouvons donc écrire:
n2=12δ ou δ=12n2 (25)
exemple pour n=1014 , n2=1028(2∗1024 et 1 sont bien des grandeurs négligeables par rapport à 1028
δ=12n2=12∗1028=0.5∗10−28
δv=0.5∗10−28∗3∗108ms−1
δv=1.5∗10−20ms−1
La vitesse V est donc égale à 3∗108ms−1−1.5∗10−20ms−1
Pour apprécier ce faible écart nous allons imaginer une expérience pratiquement irréalisable, mais mathématiquement possible.
Soient deux rayons lumineux situés aux limites de la partie visible du spectre de la lumière (le rouge et le violet).
Pour le rouge nous allons prendre une fréquence νr=nr=4∗1014 pour le violet νv=nv=7∗1014
les δ respectifs de ces deux rayons sont:
δr=1/2n2r=1/2∗16∗1028=3.13∗10−30
δv=1/2n2v=1/2∗49∗1028=1.02∗10−30
Ces δ calculés en vitesses nous donneront:
Vr=C−3.13∗10−30C
Vv=C−1.02∗10−30C
La différence entre ces deux vitesses est donc égale à:
Vv−Vr=(C−1.02−30C)−(C−3.13∗10−30C)
Vv−Vr=3.13∗10−30C−1.02∗10−30C=2.11∗10−30∗3∗108ms−1
Vv−Vr=6.33∗10−22ms−1
L’expérience prévue va consister à fixer à nos deux photons un temps de parcours dans l’espace égal à l’âge de notre univers soit 14 milliards d’année traduit en secondes ce temps est égal à 14∗109∗3.16∗107 secondes soit:
0.442∗1018secondes
Après ce long parcours dans l’espace à une vitesse très voisine de la limite C nos deux photons seront séparés de 6.33∗10−22∗0.442∗1018=2.8∗10−4m=0.28 mm.
Dans nos calculs nous pouvons par conséquent admettre que la vitesse de la lumière est égale à la constante C.
Sur le plan purement théorique la vitesse de la lumière n’est pas égale à C, la lumière est composée d’un ensemble de photons, chaque photon ayant une vitesse V inférieure à C.
Cette vitesse V est la même dans tous les référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Calcul de la vitesse de fuite de galaxies
Pour réaliser ce calcul nous allons utiliser la formule d’addition des vitesses relativistes qui s’écrit:
vt=v0+vg1+v0∗vg (26)
Dans cette relation v0, vg et vt sont exprimés en fraction de la constante C, cette fraction est égale à vt pour la vitesse du photon dans le repère terrestre v0 pour la vitesse du même photon dans le repère de la galaxie et vg pour la vitesse de déplacement de la terre par rapport à la galaxie (vitesse radiale).
A partir de l’équation (26) nous pouvons calculer vg
v0+vg=vt(1+v0∗vg)
v0+vg=vt+vt∗v0∗vg
v0−vt=(vt∗v0∗vg)−vg
v0−vt=vg(vt∗v0−1)
vg=v0−vt(vt∗v0)−1 (27)
D’après la relation β=(1−δ)
Pour vt
Nous aurons : vt=1−δt
Et pour v0
Nous aurons: v0=1−δ0
En remplaçant dans l’équation (27) vt et v0 par leurs nouvelles valeurs nous aurons:
vg=(1−δ0)−(1−δt)(1−δt)(1−δ0)−1
vg=δt−δ01−(1−δ0−δt+δt∗δ0)
δt∗δ0 est négligeable par rapport à 1, δt et δ0
d’où: vg=δt−δ0δ0+δt (28)
Nous pouvons calculer vg en fonction des fréquences en utilisant la relation δ=12n2 (25)
Appelons n0 la fréquence correspondante à δ0 et nt celle correspondant à δt
Nous aurons donc : δ0=12n20 et δt=12n2t
En remplaçant δ0 et δt par leurs nouvelles valeurs dans l’équation (28) nous pouvons écrire:
vg= 12n2t−12n2012n20+12n2t = 2n20−2n2t4n2t∗n202n2t+2n204n20∗n2t = n20−n2tn2t+n20
La vitesse radiale Vr est égale au produit de C par vg
Nous aurons par conséquent:
Vr=C n20−n2tn2t+n20 (29)
Les astrophysiciens calculent les vitesses radiales des galaxies à partir du décalage des longueurs d’ondes des raies (effet DOPPLER – FIZEAU). Le déplacement des raies a lieu vers les courtes longueurs d’ondes si la source se rapproche de l’observateur et vers les grandes longueurs d’ondes pour un éloignement. Il se caractérise par un déplacement relatif Z=λ−λ0λ0 constant pour toutes les raies d’une même source.
La variation de fréquence est liée à la vitesse radiale par la relation:
nt=n0√1−vg1+vg (30)
Cette équation peut s’écrire:
n2t=n201−ng1+ng
D’où : n2tn20=1−vg1+vg
Avec: n2t(1+vg)=n20(1−vg))
n2t+n2tvg=n20−n20vg
n20−n2t=n20vg+n2tvg
D’où : vg=n20−n2tn20+n2t (31)
Avec Vr=Cn20−n2tn20+n2t
Nous retrouvons ici la même équation que celle obtenue par la méthode d’addition des vitesses relativistes (équation (29)).
Connaissant les valeurs de n0 et nt,nous pouvons en déduire si nous sommes en présence d’un éloignement n0>nt ou d’un rapprochement n0<nt.