Applications

Rappels

L’énergie totale Etv=Ec+(nn+1)2m0c2=nm0v2+nm0v2n+2+m0v2n+2 (16)

L’énergie cinétique  Ec=nm0c2=nm0v2+m0v2n+2 (12 bis)

Pour passer de l’énergie totale Etv à l’énergie cinétique Ec il suffit de soustraire l’énergie de la masse md aux deux termes de l’égalité (16): (nn+1)2m0c2 à gauche du signe égal et m0v2n+2 à droite du signe égal (nn0v2n+2=n2(n+1)2m0c2(15)) le même procédé est utilisé en mécanique relativiste, nous avons en effet:

Ec+m0c2=m0c21β2 (3)

Pour une vitesse égale à c l’énergie de md est égale à m0c2  en retranchant cette énergie aux deux termes de l’égalité (3) nous obtenons la relation bien connue:

Ec=m0c21β2m0c2

Dans les équations représentant les énergies  Etv et Ec nous avons:

mv=2m0n+2 (11) et md=nm0n+2 (13)

Dans ce chapitre concernant les applications nous utiliserons également les équations permettant d’accéder aux calculs suivants:

le rapportβ2=(n+1)21(n+1)2 (9) ou encore  β2=v2c2=n2+2n(n+1)2 

la quantité de mouvement P=(n+1)m0v(19)

le niveau de l’énergie de la masse m0 est représenté par le paramètre n tiré de l’équation Ec=nm0c2 (7)

Cas de la mécanique classique

Cette mécanique concerne les vitesses lentes par rapport à la vitesse limite C elle intéresse en particulier l’astronomie.

Prenons comme exemple une vitesse égale à 30km S1

Nous avons V=3104mS1  et en prenant C=3108mS1 nous aurons  v2c2=108

Pour une masse égale à m0 l’énergie cinétique est égale à m0(3104)2/2 joules

m0c2=m091016 joules

n=4.5108/91016=0.5108

La masse pesante mv=2m0/2+0.5108   mv=m0

La masse inerte  md=0.5108m0/2+0.5108   md=0.25108m0

La masse inerte nm0=0.5108m0

Dans l’équation (16) les deux masses inertes md et  nm0 sont négligeables par rapport à la masse pesante mv qui est très proche de m0.

Nous retrouvons par conséquent l’équation de la mécanique classique Ec=12m0v2 (1).

Le calcul de la quantité de mouvement nous est donné par la relation P=(n+1)m0v  (19)

Cette quantité de mouvement sera égale à: (1+0.5108)m0v=m0v

Cas de la mécanique relativiste

Cette application concerne plus particulièrement les astrophysiciens et les physiciens qui utilisent les accélérateurs de particules.

Connaissant la valeur de n pour une masse m0, nous avons la possibilité de calculer: la vitesse relativiste, les masses md  et mv et leurs énergies respectives.

Exemple:

Dans le cas d’un électron soumis à une énergie de 100 MeV nous aurons:

n=100/0.511=195.7

(n+1)2=38690.89

β2=0.9999741

β=0.999987

v=0.999987.c

mv=2m0/2+195.7=0.01012m0      m0=9.111031kg    mv=9.221033 kg

md=195.7m0/2+195.7=0.98988m0    md=9.021031 kg

l’énergie de mv=0.01012m00.9999741c2/2=5.06103m0c2

l’énergie de md=0.98988m00.9999741c2=0.98985m0c2

on notera que pour n=195.7 l’énergie de md est proche de sa valeur limite (m0c2) la quantité de mouvement P=(n+1)m0v  (19)

Cas de la mécanique quantique

Calcul des vitesses proches de la vitesse limite C

La relation E=hν (4) concerne le rayonnement électromagnétique la vitesse est fixée à la valeur limite c et la masse pesante est nulle.

Dans l’équation Etv=nm0v2+nm0v2n+2+m0v2n+2 (16) la masse pesante mv ne peut pas être nulle, la vitesse de la particule étant toujours inférieure à la vitesse limite c.

Nous allons par conséquent appliquer l’équation (16) au cas particulier du rayonnement électromagnétique.

Dans cette relation si la vitesse ν tend vers c:

La masse mv et son énergie m0v2n+2 tendent vers zéro

La masse mdm0 et son énergie m0c2

L’énergie du photon peut donc être exprimée par la relation:

Et=nm0c2+m0c2

Cette équation peut être obtenue à partir de la relation de De Broglie appliquée au photon

λ=hmv

mv=(n+1)m0v

d’où  λ=h(n+1)m0v

pour v=c nous aurons:

λ=h(n+1)m0c

or : λ=cν

donc cν=h(n+1)m0c  d’où:

hv=(n+1)m0c2=nm0c2+m0c2

pour des valeurs élevées de n cette expression peut se réduire à:

hν=nm0c2

ν a la dimension de l’inverse d’un temps et h la dimension d’une action, n est un nombre sans dimension.

Si nous donnons à ν et à n les mêmes valeurs numériques n1 ces deux relations conduisent aux mêmes résultats nous aurons en effet:

pour hν:n1T1ML2T1=n1ML2T2

 pour nm0c2: n1ML2T2

Pour la suite de cette étude nous allons opter pour la seconde solution. Ce choix va nous permettre d’avoir une approche assez précise de la vitesse du photon. Cette vitesse ne sera pas exprimée par une fraction de la constante c mais par l’écart relatif entre la constante c et la vitesse relativiste du photon.

Appelons δc cet écart

La vitesse est  égale à cδc=c(1δ)

Or β=(1δ)

β2(1δ)2=12δ+δ2

La valeur de δ2 est négligeable par rapport à 1 et à 2δ (nous verrons par la suite que pour une fréquence égale à 1014 Hz  δest de l'ordre de 1028 et  δ2 de l’ordre de 1056 nous pouvons par conséquent écrire: β2=12δ  (23)

Or:  n+1=11β2 (8 bis)

Ou: (n+1)2=11β2

En remplaçant β2 par son égal 12δ (équation (23)) nous obtenons:

(n+1)2=12δ  (24)

(n+1)2=n2+2n+1

Dans le cas du rayonnement visible n est de l’ordre de 1014 , 2n et 1 sont donc négligeables par rapport à n2 nous pouvons donc écrire:

n2=12δ  ou    δ=12n2  (25)

exemple pour n=1014 ,   n2=1028(21024 et 1 sont bien des grandeurs négligeables par rapport à 1028

δ=12n2=121028=0.51028

δv=0.510283108ms1

δv=1.51020ms1

La vitesse V est donc égale à 3108ms11.51020ms1

Pour apprécier ce faible écart nous allons imaginer une expérience pratiquement irréalisable, mais mathématiquement possible.

Soient deux rayons lumineux situés aux limites de la partie visible du spectre de la lumière (le rouge et le violet).

Pour le rouge nous allons prendre une fréquence νr=nr=41014 pour le violet νv=nv=71014

les δ respectifs de ces deux rayons sont:

δr=1/2n2r=1/2161028=3.131030

δv=1/2n2v=1/2491028=1.021030

Ces δ calculés en vitesses nous donneront:

Vr=C3.131030C

Vv=C1.021030C

La différence entre ces deux vitesses est donc égale à:

VvVr=(C1.0230C)(C3.131030C)

VvVr=3.131030C1.021030C=2.1110303108ms1

VvVr=6.331022ms1

L’expérience prévue va consister à fixer à nos deux photons un temps de parcours dans l’espace égal à l’âge de notre univers soit 14 milliards d’année traduit en secondes ce temps est égal à 141093.16107 secondes soit:

0.4421018secondes

Après ce long parcours dans l’espace à une vitesse très voisine de la limite C nos deux photons seront séparés de 6.3310220.4421018=2.8104m=0.28 mm.

Dans nos calculs nous pouvons par conséquent admettre que la vitesse de la lumière est égale à la constante C.

Sur le plan purement théorique la vitesse de la lumière n’est pas égale à C, la lumière est composée d’un ensemble de photons, chaque photon ayant une vitesse V inférieure à C.

Cette vitesse V est la même dans tous les référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

Calcul de la vitesse de fuite de galaxies

Pour réaliser ce calcul nous allons utiliser la formule d’addition des vitesses relativistes qui s’écrit:

vt=v0+vg1+v0vg  (26)

Dans cette relation  v0, vg et vt sont exprimés en fraction de la constante C, cette fraction est égale à vt pour la vitesse du photon dans le repère terrestre v0 pour la vitesse du même photon dans le repère de la galaxie et vg  pour la vitesse de déplacement de la terre par rapport à la galaxie (vitesse radiale).

A partir de l’équation (26) nous pouvons calculer vg

 v0+vg=vt(1+v0vg)

v0+vg=vt+vtv0vg

v0vt=(vtv0vg)vg

v0vt=vg(vtv01)

vg=v0vt(vtv0)1 (27)

D’après la relation β=(1δ)

Pour vt

Nous aurons : vt=1δt

Et pour v0

Nous aurons: v0=1δ0

En remplaçant dans l’équation (27) vt et v0 par leurs nouvelles valeurs nous aurons:

vg=(1δ0)(1δt)(1δt)(1δ0)1

vg=δtδ01(1δ0δt+δtδ0)

δtδ0 est négligeable par rapport à 1, δt et δ0

d’où: vg=δtδ0δ0+δt (28)

Nous pouvons calculer vg en fonction des fréquences en utilisant la relation δ=12n2  (25)

Appelons n0 la fréquence correspondante à δ0 et nt celle correspondant à δt

Nous aurons donc : δ0=12n20  et  δt=12n2t

En remplaçant  δ0 et δt par leurs nouvelles valeurs dans l’équation (28) nous pouvons écrire:

vg= 12n2t12n2012n20+12n2t  = 2n202n2t4n2tn202n2t+2n204n20n2t = n20n2tn2t+n20

La vitesse radiale Vr est égale au produit de C par vg

Nous aurons par conséquent:

Vr=C  n20n2tn2t+n20  (29)

Les astrophysiciens calculent les vitesses radiales des galaxies à partir du décalage des longueurs d’ondes des raies (effet   DOPPLER – FIZEAU). Le déplacement des raies a lieu vers les courtes longueurs d’ondes si la source se rapproche de l’observateur et vers les grandes longueurs d’ondes pour un éloignement. Il se caractérise par un déplacement relatif  Z=λλ0λ0 constant pour toutes les raies d’une même source.

La variation de fréquence est liée à la vitesse radiale par la relation:

nt=n01vg1+vg  (30)

Cette équation peut s’écrire:

n2t=n201ng1+ng

D’où : n2tn20=1vg1+vg

Avec: n2t(1+vg)=n20(1vg))

n2t+n2tvg=n20n20vg

n20n2t=n20vg+n2tvg

D’où :  vg=n20n2tn20+n2t (31)

Avec  Vr=Cn20n2tn20+n2t

Nous retrouvons ici la même équation que celle obtenue par la méthode d’addition des vitesses relativistes (équation (29)).

Connaissant les valeurs de n0 et nt,nous pouvons en déduire si nous sommes en présence d’un éloignement n0>nt ou d’un rapprochement n0<nt.